¿Son las proposiciones que encontramos en los Elementos de Euclides juicios sintéticos a priori?

Juicios analíticos, en sentido kantiano (Kritik der reinen Vernunft.A7), son aquellos en los que el predicado está contenido en el sujeto, lo que equivaldría a decir que son aquellos en que la conexión sujeto-predicado se da a través de la identidad. Por su parte, juicios sintéticos son aquellos en los que el predicado está fuera del sujeto. Los primeros serían juicios de clarificación mientras que los segundos lo serían de amplificación. Puesta en su contexto histórico, la distinción continúa la hecha por Hume entre proposiciones que conectan ideas y proposiciones sobre hechos (An Enquiry concerning Human Understanding. 4.1.1/25), y la distinción Leibniziana entre las verdades de razonamiento y las verdades de hecho (La Monadologie.33). La filosofía analítica, desde Frege en adelante, retomó la problemática de la distinción, abriendo una discusión que llevó a una nueva reformulación de los fundamentos de la matemática y de la filosofía del lenguaje.

Sorprende que la Crítica de la Razón Pura no prosiguiese una investigación más detallada de la todavía obra fundamental de la geometría de su época (y lo será hasta el siglo XIX) en las argumentaciones relativas a la Estética Transcendental.

¿Cómo concibe Kant la geometría? Como ciencia condicionada por la intuición pura del espacio en el sujeto. Sus principios, si han de tener certeza apodíctica, tienen que ser a priori, y no estar basados en meras percepciones (K.R.V. B.39) ni en la experiencia de las relaciones de los objetos. Los principios (Grundsätze) de la geometría están basados entonces en una intuición a priori (y no empírica, insiste Kant) (A.25.), y la geometría nos proporciona cognición sintética a priori (B.16-17), es más los principios de la geometría son juicios sintéticos a priori (B.16). Kant, no obstante admite que algunos de los principios de los geómetras son analíticos y descansan en el principio de contradicción (B.16), principios que según Kant, sirven sólo como proposiciones (Sätze) de identidad para el método deductivo pero que no son como tal principios, y da como ejemplo el principio de identidad y el que el todo es mayor que la parte. Este último, sin embargo, es la quinta noción común (axioma) de Euclides, una proposición fundamental en la construcción geométrica. Leibniz (Historia et Origo Calculi Diferentialis) ya había probado analíticamente el axioma.

1. Definición-Premisa: Cualquier cosa igual a la parte de otra, es menor que la otra.

2.Pero una parte es igual a otra parte del todo (es decir a sí misma, por el principio de identidad)

3. Por lo tanto, la parte es menor que el todo. Es decir, por definición del genero común de las partes.

Hay otro lugar en la Crítica donde Kant vuelve a insistir en el contenido analítico de algunos principios de la geometría, a la que dedicó mucha más argumentación que a la aritmética en relación al contenido sintético a priori de sus fundamentos, quizá porque él mismo no estaba tan convencido. Las proposiciones: iguales añadidos o sustraídos a iguales dan un mismo resultado en cada uno de los casos (A.164), son proposiciones analíticas. Se trata en este caso de los. axiomas dos y tres de Euclides. Tres de los cinco axiomas de Euclides son reconocidos por el propio Kant como analíticos y no sintéticos. Las nociones comunes (koinai ennoiai) son precisamente la parte más intuitiva de la composición euclidiana, y resulta que Kant las considera analíticas, contradiciendo su proposición fundamental del carácter sintético a priori de los fundamentos de la geometría. Sobre los axiomas uno y cuatro, ni siquiera dice nada:

1. Aquella cosas que son iguales a otra distinta, son iguales entre sí.

4. Las cosas que coinciden entre sí, son iguales unas a otras.

Proposiciones que son claramente analíticas pues nos dan definiciones del concepto de igualdad.

En ningún momento de la Crítica nos queda claro a cuáles de los cuatro tipos de proposiciones que encontramos en Euclides (definiciones, postulados, nociones comunes y proposiciones) llama principios. Así por ejemplo, se pasa a hablar de proposiciones (Satz) a principios (Grundsatz), sin ninguna precisión. En B16, para ilustrar el contenido sintético de los principios geométricos se apela a una proposición (que la línea recta es la más corta entre dos puntos),mientras que en B760, se llama axioma (Axiom) o principio sintético a priori, a la proposición (que no se encuentra en Euclides) de que tres puntos siempre están en un plano (proposición que además es falsa si no indicamos que unos de ellos no pertenezca a la línea).

Que las condiciones de posibilidad de la intuición sean sintéticas a priori, es decir, el que espacio y tiempo sean condiciones de la sensibilidad, no prueba que los juicios construidos bajo tales condiciones no tengan componentes analíticos, o que incluso, como es el caso, que la totalidad de sus axiomas sean analíticos.

El problema va más lejos, pues los objetos fundamentales de la geometría no se corresponden con ninguna intuición. Como ya comprendiera Aristóteles (Analíticos Posteriores. II. 93b.19), las definiciones no prueban que una cosa sea. Las definiciones que hace Euclides no prueban la existencia de esos objetos geométricos en la intuición, pero son objetos espaciales sobre los que se prueban propiedades que aplican al espacio, y (curiosamente) cuyo criterio de aplicación al espacio se basa en principios deductivos: aplican las propiedades que se deducen correctamente y no aplican las mal deducidas. Las definiciones son entonces enunciados analíticos, especialmente las que sirven de fundamento constructivo a las demás. Así, por ejemplo, la primera de ellas (un punto es aquello que no tiene partes) establece una determinación negativa con respecto a la intuición de la pluralidad. De una determinación así no puede ofrecerse ninguna representación intuitiva e implica un proceso de abstracción con respecto a una percepción, y además, tampoco se deriva de los axiomas. Con un objeto así, sólo se pueden hacer juicios analíticos, pues no habría forma de comprobar la verdad o falsedad empírica de un enunciado que lo contenga como sujeto. En la analítica de los principios kantiana, leemos en relación a los axiomas de la intuición que todas las intuiciones son magnitudes extensas (B.202), pero los objetos de la geometría euclidiana están construidos a partir de puntos (no extensos), por lo tanto no podrían pertenecer a ninguna intuición, ni siquiera a la pura del espacio. El que la extensión geométrica sea el resultado de agregar cosas no extensas, no sugiere precisamente una fundamentación sintética para la geometría, por mucho que la condición de posibilidad del espacio venga dada a priori en el sujeto. Lo no extenso sería sólo aprehensible en relación al sentido interno, pero el sentido interno sólo funciona como secuenciación, por lo que un punto no sería nunca intuible, lo que hace que todas las proposiciones en las que se considere un punto tengan como fundamento el principio de contradicción. El que un punto no tenga partes impide que también pueda ser considerado como parte de una extensión. La definición 3, nos dice que los extremos de una línea son puntos, o lo que es lo mismo, dos puntos determinan una línea; pero ello supone que hay una parte del punto en contacto con el otro punto y una que no está en contacto con él (se ve más claro al incluir un tercer punto) lo que supondría que hay dos partes en un punto, sin embargo, un punto no tiene partes por definición.(Paradojas similares fueron tratadas ya por Platón en el Parménides). Asimismo, ya que el punto no tiene extensión, no cambia la extensión de una recta si le quito un punto. Y si a la recta resultante le quito otro punto, tampoco cambia su extensión, pero esto viola la noción común 3, pues tengo la misma extensión substrayendo un punto que dos puntos. Tampoco cambiaría si le quito infinitos puntos. Esto afecta también de una forma u otra al resto de los axiomas… y también a la demostración de Leibniz tratada más arriba. El todo no es mayor que la parte cuando las partes son puntos, como cree probar Leibniz, lo que nos lleva curiosamente a que los axiomas de la geometría no son ni meramente juicios sintéticos, ni tampoco meros juicios analíticos, pues los juicios analíticos de la geometría euclidiana han sido construidos en base a ontologías paradójicas (el todo y la parte, por ejemplo), es decir, habría juicios analíticos en geometría cuya verdad o falsedad no es decidible, y por tanto no expresan ni un contenido analítico ni uno sintético, como sería el caso de algunas proposiciones sobre el continuo. Por ejemplo:Podemos construir una recta con dos puntos contiguos. Si son contiguos están en contacto uno con otro, pero si están en contacto no pueden ser puntos pues el contacto implica tener una parte en contacto y los puntos no tienen partes, si son puntos y son contiguos, son discontiguos, y no podemos construir esa recta. Pero si son discontiguos, quiere decir que hay un punto entre ambos, es decir que son contiguos con ese punto, es decir, al construir una recta con puntos discontiguos construimos una recta con dos puntos contiguos.