¿Son sintéticas a priori las proposiciones de la aritmética?

 

Si el criterio kantiano que distingue las proposiciones sintéticas de las analíticas, ya sean axiomas o postulados, es su no inclusión o su inclusión en el sujeto, una proposición analítica no podría ser reducida o transformada a una sintética, ni a la inversa, pues algo está o no está incluido en otra cosa. El propio concepto de inclusión no es precisamente algo claro, la teoría de conjuntos moderna ha optado por una definición extensional, es decir, dando una lista de las cosas que están incluidas en otra dada. La inclusión así pensada es menos problemática aunque no exenta de paradojas. Obviemos esto por un momento y centrémonos en la distinción kantiana.

  Kant nos da su conocido ejemplo de proposición sintética a priori, capaz de darnos conocimiento de manera independiente a la experiencia:

7+5=12

Pero podemos transformar esta igualdad en esta otra:

7= 12-5,

y después en

7=7,

que es una proposición analítica.

Y a la inversa, de

7=7

pasamos a

7+5=7+5

por el axioma segundo euclidiano (analítico), y de ahí, mediante un cambio de notación analítico (es decir, ponemos de forma compacta -lo que no es una unificación conceptual- y en base 10 el quinto sucesor de 7), pasamos a:

7+5=12

  ¿Podemos entonces intercambiar proposiciones sintéticas por analíticas? ¿En qué sentido un predicado numérico puede estar incluido o no incluido en un número? ¿Es 12 una unificación de los números 7 y 5? -como dice Kant en la Crítica de la Razón Pura (B15). Pero podemos obtener el número 12 sumando infinitos números enteros (es decir sumando negativos y positivos), ¿quiere esto decir que en el número 12 están unificados esos infinitos números? Y si estuviesen unificados, ¿una síntesis infinita tiene algo que ver con la intuición? Según lo que propone Kant, en 1+1 =2, los dos unos se unificarían en el dos, pero ¿cómo podrían los unos unificarse? ¿no se desunifican más bien para ser dos? ¿qué quieren decir estas preguntas? Entramos en terreno metafísico muy pantanoso.

Esto no tiene ningún sentido, ni siquiera dentro del sistema kantiano. ¿No depende acaso la aritmética del proceso de contar, un algoritmo que aunque basado en el sentido interno, requiere el concepto analítico de un número sin predecesor? Una suma, como la de 7+5, o la de 22+(-10), es un algoritmo, es decir un procedimiento. Tal algoritmo no es un proceso de unificación sino de determinación: mediante un proceso sistemático establecemos las relaciones entre tres signos numéricos. Ninguno de ellos es pensado por separado, sino como parte de un único sistema numérico que ha sido desarrollado históricamente con grandes dificultades.

  Al contrario de lo que pensara Kant, es precisamente, la suma de grandes números, como ya notara Frege, lo que muestra que la aritmética genera proposiciones analíticas. En la suma:

123.456.789 + 213.456.789 = 336.913.578

podemos saber que la proposición es verdadera sin necesidad de ninguna intuición acerca de cualquiera de los números. No obstante, y a diferencia de lo que pensaba Frege, no son proposiciones a priori (tampoco a posteriori) sino proposiciones sistémicas formales, resultado de una elaboración conceptual en la que intervienen elementos de la experiencia cotidiana y elementos definidos analíticamente. Lo que hace una proposición matemática es su posibilidad de inclusión en un sistema de generalización de sus resultados. La matemática, como parecen corroborar las investigaciones de Stanislav Dehaene, hunde sus raíces en la biología animal, en nuestra estructura neurofisiológica, pero con esa base ha sido después construida conforme a principios tanto analíticos como sintéticos, hasta llegar a las construcciones formales de la ciencia que es hoy. La imposibilidad de una formalización total, probada por los teoremas de Gödel, no es sino la referencia a su base intuitiva, animal, que está condicionada por la forma en la que experimentamos el espacio-tiempo.